La géométrie algébrique est la théorie qui étudie les variétés algébriques, et plus généralement les schémas.
Les premiers travaux de cette nature remontent aux mathématiques arabes. Omar Khayyam proposa une méthode de résolution des équations cubiques par intersection d'un cercle et d'une parabole : il combina la trigonométrie et les approximations fonctionnelles pour obtenir des méthodes de résolution géométriques des équations algébriques.
La « Géométrie » de Descartes, inaugurant l'étude des courbes algébriques, marque la deuxième grande étape dans la genèse de cette discipline.
Début du vingtième siècle : la géométrie algébrique naisse comme partie de la géométrie à part entière. Son début fut initié par l'école italienne (Enriques, Chisini, Castelnuovo, Segre...). Ces géomètres étudiaient courbes et surfaces de l'espace projectif (réel et complexe) : notions de points voisins et points proches afin d'avoir une interprétation géométrique du théorème de Bezout. Le style assez libre de l'école italienne reste éloigné de la rigueur actuelle.
Après 1930 : les écoles américaines (Zariski, Mumford...) et françaises (Weil, Samuel, Chevalley, Serre...) développèrent sous une forme plus algébrique l'études des variétés sur un corps commutatif quelconque en utilisant essentiellement la théorie des anneaux.
Les années 1950 : elle fut totalement transformée par les travaux de l'école française sous l'impulsion d'Alexander Grothendieck.
Alexander Grothendieck est un des mathématiciens les plus importants du XXe siècle. C’est une des personnalités les plus entières et les plus surprenante du monde scientifique.
En quelques années, il est l’auteur de contributions majeures dans des domaines variés :
Récompenses :
Grothendieck est connu pour sa maîtrise d’approches abstraites des mathématiques, et pour son perfectionnisme en matière de présentation et de formulation. En particulier, sa facilité à trouver des résultats concrets à partir de méthodes très générales est considéré comme unique parmis les mathématiciens.
La dualité algèbre-géométrie permet de généraliser la notion de forme géométrique et obtenir ce qu’on nomme un schéma. Il est possible d’établir une dualité entre la géométrie et l’algèbre. Cette dualité repose sur une algèbre de fonctions qui remplace l’étude des points.
Cette dualité a été mise en évidence la première fois avec la géométrie algébrique qui étudie les solutions des systèmes d’équations polynomiales. Par exemple, les équations de ces systèmes pourront être , etc...
Un système d’équations linéaires () encode des objets géométriques comme le point, la ligne, le plan, l’hyperplan etc... Un système d’équations polynomiales encode des objets appelés variétés algébriques dont vous connaissez des exemples célèbres : le cercle, la parabole, l’hyperbole ...
On associe à un système linéaire un objet algébrique appelé espace vectoriel. Le but de cet exposé est de comprendre quel objet algébrique est associé à un système d’équations polynomiales et de voir à quoi mènent les généralisations.
Pour cela,
Idéal : un idéal est d’abord un sous-anneau. (l’ensemble des multiples de 5) est un sous-anneau de . En effet, la somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5. Le produit de deux multiples de 5 est encore un multiple de 5. Mais, a une autre propriété intéressante qui en fait un idéal : Il est stable si on le multiplie par n’importe quoi car un multiple de 5 reste toujours un multiple de 5 si on le multiplie par n’importe quel entier.
En mathématiques, on dit qu'un ensemble est clos pour des fonctions ou opérations si ces opérations appliquées à des éléments de l'ensemble produisent un élément de l'ensemble.
En algèbre, la clôture algébrique d'un corps est le plus petit corps algébriquement clos le contenant (défini à isomorphisme près), dont on démontre directement l'existence. En mathématiques, un corps K est dit algébriquement clos si tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans K, admet (au moins) une racine dans K.
Quotient : Le quotient est une opération magique et très importante en maths : c’est l’opération qui permet d’oublier les détails qui ne nous intéressent pas sur des objets et sur des structures.
Imaginons que vous avez un ensemble d’objets et une loi T permettant de les combiner. Ce qui vous intéresse ce n’est pas l’objet en lui-même mais une certaine propriété qu’il peut avoir. Vous voudriez oublier tout le reste sauf cette propriété et identifier deux objets s’ils ont la même propriété.
On dit alors que deux objets sont égaux modulo la propriété qui nous intéresse. Autrement dit : ils sont égaux en faisant abstraction de tous les détails qui ne vous intéressent pas.
Vous voudriez aussi que votre loi T puisse s’appliquer directement à la propriété qui vous intéresse sans passer par les objets. Par exemple, au-lieu de calculer la propriété P de l’objet a T b (objet obtenu en combinant a et b avec la loi T), vous voudriez pouvoir calculer le résultat directement à partir de P(a) et P(b) grâce à une nouvelle loi T’ agissant directement sur la propriété qui vous intéresse: P(a T b) = P(a) T’ P(b). Le passage au quotient de la loi T est ce qui vous permet d’obtenir ce résultat.
Pour prendre un exemple concret : Imaginons que ce qui vous intéresse c’est le reste de la division par 5. Deux objets sont égaux (modulo 5) s’ils ont le même reste lorsqu’on les divise par 5. Maintenant, vous voulez calculer le reste de 147*251 par 5. Le passage au quotient vous permet de calculer ce reste directement avec le reste de la division de 147 par 5 et le reste de la division de 251 par 5. Le passage au quotient permet de créer une nouvelle loi de multiplication qui agit directement sur les restes sans avoir besoin de multiplier les nombres d’origine pour obtenir le résultat. On obtient : 2 *’ 1 = 2.
L’espace quotient se note . Car deux nombres ont le même reste lorsqu’on les divise par 5 si leur différence et un multiple de 5 donc si elle appartient à l’idéal . se note aussi (5) : idéal engendré par 5.
Tout ce que je viens de dire fonctionne aussi avec les polynômes et on peut considérer, par exemple, l’ensemble quotient qui permet d’étudier les restes lorsqu’on divise par .
Le cercle : un cercle de rayon 1 c’est la solution de l’équation sur . On va étudier les fonctions définies sur ce cercle plutôt que les points. On va se limiter aux fonctions polynomiales donc membres de .
Deux fonctions polynomiales définissent la même fonction sur le cercle si elles donnent les mêmes valeurs sur le cercle (mais peuvent donner des valeurs différentes hors du cercle). Ainsi, la différence de ces deux fonctions s’annule sur le cercle. Cette différence est donc multiple de . Donc, les fonctions définies sur le cercle sont . On oublie tous les détails qui ne nous intéressent pas : les valeurs hors du cercle.
Cet ensemble quotient est un anneau. Il y a donc des notions d’idéaux. Un idéal maximal est un idéal qui est le dernier avant l’anneau entier pour la relation d’inclusion. Cet anneau permet de recréer une topologie pour le cercle et de reconstruire ses points.
En effet, sur une ligne (qui correspond à ), un point b correspond au polynôme . L’idéal engendré a la propriété d’être maximal. Ainsi, les idéaux maxima permettent de reconstruire les points. Les idéaux maxima de permettent de retrouver le cercle.
Pour retrouver des “relations” topologiques entre les points, il faut considérer une autre notion : les idéaux premiers. L’ensemble de ces idéaux premiers permettent de construire une topologie pour l’ensemble des points précédemment définis.
En fait, n’étant pas algébriquement clos, les idéaux maxima et premiers contiennent plus d’information. C’est-à-dire que pour retrouver le cercle défini sur il faut se restreindre et ne considérer que les points (au sens algébrique) rationnels sur .
Un point sur la ligne correspond à l’anneau . Mais, que peut alors bien signifier l’anneau . Dans ce second anneau, l’élément n’est pas nul. Mais, il correspond bien à la fonction nulle sur le point.
Autrement dit, n’appartient pas à cet anneau mais la fonction correspondante s’annule pourtant bien sur la variété étudiée. Pourtant cet anneau a un intérêt. Si je considère deux points, l’anneau correspondant sera .
Si c’est deux points convergent l’un vers l’autre et vers le point 0, j’obtiendrai de façon géométrique . signifie que l’on se souvient comment le point 0 a été obtenu : comme limite de deux points convergeant vers 0.
Ainsi, considérer des anneaux plus généraux permet d’enrichir l’aspect géométrique en se souvenant de détails supplémentaires. On définit alors pour tout anneau A: Spec A = Spectre de A = ensemble des idéaux premiers qui sont les points d’un nouvel objet géométrique appelé Schéma.
On construit une topologie sur Spec A : la topologie de Zariski qu’on peut définir grâce aux propriétés algébriques de A ; Cela paraît abstrait mais cela simplifie les choses en permettant d’encoder plus d’informations. En outre, on peut ensuite faire de la géométrie sur des espaces plus bizarres. Par exemple, Spec Z contient tous les nombres premiers qui sont ses points.
Il y a deux points de vue (essentiellement équivalents) sur les variétés algébriques:
Certaines parties sont largement inspirées de Wikipedia.
