Introduction

L'idée de cet énoncé vient d'un exercice de sup dont Virgile m'avait parlé : "Montrer que les carrés de rationels et les opposés de ces carrés forment un ensemble dense dans $ℝ$". Il avait évidemment noté qu'il suffisait d'établir la densité de ${\mathbb{Q}}_{+}$ dans ${ℝ}_{+}$ et proposait d'utiliser la définition de la densité via la relation d'ordre sur les réels (on peut toujours trouver un nombre rationnel entre deux nombres réels distincts donnés). Je lui ai indiqué une autre démonstration en utilisant la caractérisation de la densité par des suites (un ensemble E est dense dans F ssi pour tout élément de F il existe une suite d'éléments de E qui tend vers cet élément). Je me suis alors demandé si ces deux méthodes étaient équivalentes dans un cadre plus général...

Fred

Énoncé

Soit $f:{ℝ}_{+}\mapsto {ℝ}_{+}$ une application bijective telle que $f\left(\mathbb{Q}\right)$ soit inclus dans $\mathbb{Q}$. On considère les propriétés suivantes :

1. f croissante
2. f continue
3. $f\left({\mathbb{Q}}_{+}\right)$ est dense dans ${ℝ}_{+}$

Au passage on notera que la fonction carré verifie les deux propriétés (i) et (ii). De plus, si (i) est vérifié alors f est en réalité strictement croissante par injectivité de f.

1. Montrer que $\left(i\right)\Rightarrow \left(\mathrm{ii}\right)$.
2. Montrer que $\left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow \left(\mathrm{iii}\right)$.
3. Montre qu'en fait (i) et (ii) sont équivalentes.
4. Exhiber une fonction g vérifiant (iii) mais pas les propriétés (i) et (ii)

Corrigé

1. Soient $x,y\in {ℝ}_{+}$ tels que $x<y$. Par croissance stricte de f, $f^{-1}\left(x\right)<f^{-1}\left(y\right)$. Par densité de ${\mathbb{Q}}_{+}$ dans ${ℝ}_{+}$, il existe $q\in {\mathbb{Q}}_{+}$ tel que $f^{-1}\left(x\right)<q<f^{-1}\left(y\right)$ i.e $x<f\left(q\right)<y$.
2. Soit $x\in {ℝ}_{+}$. Par densité de ${\mathbb{Q}}_{+}$ dans ${ℝ}_{+}$, il existe une suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ de rationnels positifs dont la limite est $f^{-1}\left(x\right)$. Alors la suite ${\left(f\left(u_n\right)\right)}_{n\in \mathbb{N}}$d'éléments de $f\left({\mathbb{Q}}_{+}\right)$ converge, par continuité de $f$, vers $f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x$.
3. $\left(i\right)\Rightarrow \left(\mathrm{ii}\right)$. f croissante injective donc strictement croissante. Si f(0) > 0, alors pour tout x > 0, f(x) > f(0) > 0 et f n'est pas surjective. Donc f(0) = 0 et pour tout x > 0, f(x) > f(0) = 0.
   • Soit $\epsilon >0$. Soit $\delta =f^{-1}\left(\epsilon \right)$. Alors si $0\le x<\delta$, on a $0\le f\left(x\right)<\epsilon$, donc |f(x) - f(0)| < ε. Donc f continue à droite en zéro.
   • Soit$x_0>0$. Alors $f\left(x_0\right)>0$. Soit $\epsilon >0$ (quitte à le diminuer, on peut supposer $\epsilon <f\left(x_0\right)$). On pose alors

     $\delta =min\{x_0-f^{-1}(f\left(x_0\right)-\epsilon ),f^{-1}(f\left(x_0\right)+\epsilon )-x_0\}$. La stricte croissance de f assure que $\delta >0$.

     Alors pour tout x tel que$\mid x-x_0\mid <\delta$

     $-(x_0-f^{-1}(f\left(x_0\right)-\epsilon ))\le -\delta <-\mid x-x_0\mid \le x-x_0\le \mid x-x_0\mid <\delta <f^{-1}(f\left(x_0\right)+\epsilon )-x_0$

     $f^{-1}(f\left(x_0\right)-\epsilon )<x<f^{-1}(f\left(x_0\right)+\epsilon )$

     $f\left(x_0\right)-\epsilon <f\left(x\right)<f\left(x_0\right)+\epsilon$ et finalement $\mid f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\mid <\epsilon$. Ce qui montre la continuité de f en $x_0>0$.

   $\left(i\right)\Leftarrow \left(\mathrm{ii}\right)$Supposons f continue et non croissante. Alors il existe 0 ≤ x < y tel que f(x) > f(y). Comme f est continue sur le compact [0, y] elle est majorée par une constante M. f étant surjective, il existe z > y tel que f(z) > M. Soit $a\in ]f\left(x\right),f\left(y\right)[$. Alors f(y) < a < f(x) ≤ M < f(z). Par le théorème des valeurs intermédiaires appliquer à deux intervalles, il existe x' dans ]x , y [ et z' dans ]y; z [ tel que f(x') = a = f(z'). Ce qui contredit l'injectivité de f.

4. On considère n'importe quel fonction f qui vérifient ces propriétés et deux irrationnels positifs $x<y$. Alors la fonction $g$ telle que $g\left(x\right)=y$ et $g\left(y\right)=x$ et prend les même valeurs que f aux autres points convient : on a $g\left({\mathbb{Q}}_{+}\right)=f\left({\mathbb{Q}}_{+}\right)$ dense dans ${ℝ}_{+}$ et par construction la propriété (i) (donc (ii)) n'est pas vérifiée. Virgile propose une autre fonction, plus explicite : la fonction $\frac{1}{x}$ prolongée par la valeur 0 et 0.

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