Optimisation

Exercice 1

On considère le problème suivant :

${\begin{matrix} min f (x, y, z) = - z^{3} (ⅇ^{- x} + ⅇ^{- y}) + x y + 6 z \\ s . c {\begin{matrix} z \in] 0, 1 [ \\ x, y < 1 \end{matrix} \end{matrix}$

Calculer le gradient et la matrice hessienne de $f$ .
Montrer que en tout point critique, $x ⅇ^{- x} = y ⅇ^{- y}$ et en déduire $x = y$ . (étudier $t \mapsto t ⅇ^{- t}$ )
Montrer que en tout point critique, $z = - x$
Montrer que en tout point critique, $ⅇ^{x} - x^{2} = 0$ .
Montrer qu'il existe $α \in] 0, 1 [$ tel que $ⅇ^{α} - α^{2} = 0$ . On admet que ce point est unique sur $ℝ$ (sinon, étudier la fonction $t \mapsto \exp t - t^{2}$ )
En déduire que l'unique point critique de $f$ est $(α, α, - α)$ .
Montrer que le Heissien de $f$ en ce point est indéfini.
En déduire que le seul point critique de $f$ est un point selle et conclure.

Exercice 2

Montrer que $f (x) = \frac{1}{4} \cosh (1 + \sum_{k = 1}^{n} {x_{k}}^{4}) + 3 \exp \sum_{k = 1}^{n} ∣ x_{k} ∣$ est convexe.

Exercice 3

Résoudre les problèmes de minimisation des posinômes suivant (les calculs ne tombent pas juste) pour des $x_{i} > 0$ :

$g (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 x_{1} + x_{2} \sqrt{x_{3}} + 5 \frac{{x_{2}}^{2}}{x_{1} x_{3}}$
$g (x_{1}, x_{2}) = 2 x_{1} \sqrt{x_{2}} + 7 \frac{{x_{2}}^{3}}{{x_{1}}^{2}} + \frac{\sqrt[3]{x_{1}}}{x_{2}}$

Auteur : Frédéric WANG