Calcul de $\sum_{n = 0}^{+ \infty} P (n) Q (z^{n})$

Introduction

Dans tout cet exercice, pour tout $(i, k) \in ℕ \times ℕ^{*}$ et $z \in ℂ$ (avec $∣ z ∣ < 1$ ) on pose :

$S_{i, k} (z) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} n^{i} z^{k n}$

On cherche à déterminer une méthode pour calculer les sommes de la forme $\sum_{n = 0}^{+ \infty} P (n) Q (z^{n})$ où $P, Q$ sont deux polynômes et $Q$ est de valuation non nulle (i.e. $X ∣ Q$ ).

Préliminaires

Pour $P, Q$ donnés montrer que $\sum_{n \geq 0} P (n) Q (z^{n})$ converge si $∣ z ∣ < 1$ et diverge si $∣ z ∣ > 1$ .
Exprimer la somme de la série précédente en fonction des $S_{i, k} (z)$ .
Montrer que la condition sur $Q$ est nécessaire.
Calculer $S_{0, k} (z)$ pour tout $k \geq 1$ .

Expression récurrente des $S_{i, k} (z)$

Montrer que pour tout $i \in ℕ$ , il existe des coefficients entiers naturels ${(C_{i, j})}_{0 \leq j \leq i}$ tels que
$\frac{ⅆ^{i} (z^{k n + i})}{z^{i}} = \sum_{j = 0}^{i} C_{i, i - j} k^{j} n^{j} z^{k n}$
Quelles sont les valeurs de $C_{i, 0}$ et de $C_{i, i}$ ?
Justifier que l'on peut écrire $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{ⅆ^{i} (z^{k n + i})}{{ⅆ z}^{i}} = \frac{ⅆ^{i} (\sum_{n = 0}^{+ \infty} z^{k n + i})}{{ⅆ z}^{i}}$ .
En déduire une expression de $S_{i, k} (z)$ en fonction de $i, k$ et des $C_{i, j}$ et des $S_{i, j} (z)$ ( $0 \leq j < i$ ) et de $\frac{ⅆ^{i} (\frac{z^{i}}{1 - z^{k}})}{{ⅆ z}^{i}}$ .

Quelques questions supplémentaires

Justifier que $C_{i, j} = i C_{i - 1, j - 1} + C_{i - 1, j}$ .
En déduire que $C_{i, j} = j! + \sum_{l = j}^{i - 1} (l + 1) C_{l, j - 1}$ .
Calculer $S_{1, k} (z)$ et $S_{2, k} (z)$ pour tout $k \geq 1$ .

Article provenant du site « Maths, Informatique, Jeux » - Auteur : Frédéric WANG

Calcul de ∑ n = 0 + ∞ P ⁡ ( n ) ⁢ Q ( z n )

Introduction

Préliminaires

Expression récurrente des S i , k ( z )

Quelques questions supplémentaires

Calcul de $\sum_{n = 0}^{+ \infty} P (n) Q (z^{n})$

Expression récurrente des $S_{i, k} (z)$